Введение в анализ. Предел последовательности и предел функции

На купить-справки.рф купить справку.
Информатика
Логическая организация
памяти ПК
Адресное пространство
PC и XT
Сегментные и линейные
адреса
DOS Память VGA
BIOS видеоадаптеров
Платы сетевых адаптеров
Базовая система
ввода/вывода
Карты ПЗУ
IBM BIOS
Дополнительная память
Предотвращение конфликтов
резидентные программы
Широковещательные сети
и протоколы
Подуровень управления
дискретная система
беспроводные ЛВС
шумовой сигнал
волоконно-оптические кабели
Метод инфракрасной
передачи
Архитектура Bluetooth
Виртуальные сети
кодирующее устройство
Встроенные операторы
и функции
Запись и считывание данных
Язык С Фортран Макрос
Внешние вызовы
Установка закладок
Графические результаты
двумерные графики
трехмерные графики
Числа и числовые константы
Комплексные числа
Списки выражений
Массивы, векторы и матрицы
Бинарные операторы
Операторы объединения
Тригонометрические функции
Гиперболические функции
Операции с векторами
Графическая визуализация
Импликативные функции
Условные выражения
Ключи в процедурах
Операции ввода и вывода
История искусства
Новый стиль в Европе
Ар Нуво как стиль
Чарлз Ренни Макинтош
Коломан Мозер
Развитие промышленности в Америке
Чикагская архитектурная
школа
Адольф Лоос
производственный союз
Рождение абстрактного
искусства
Художники-кубисты
футуристическая живопись
итальянские художники
идеи "Де Стейл"
Кандинский Василий
Васильевич
Движение супрематизм
Малевич
производственное искусство
средовой дизайн
Эротика в искусстве
Эпоха Ренессанса и Рококо
расцвет искусства
Средневековое искусство
Вакханка Семейное счастье
Сластолюбивый фавн Адам
Гравюра Пикари
Радости Вакха
И. Саделер. Радости Вакха
Гравюра. Шабаш ведьм.
В женском доме Гравюра
итальянская гравюра
Ювелирное искусство
Крестьянин и сластолюбивая госпожа
Эскиз для бокала
Марс и Венера
Тольциус. Батсеба в купальне
Высокое возраждение
в Италии, Франции и Испании
Тайная вечеря
Леонардо да Винчи
Собор Св. Петра
Микеланджело
Рафаэль
Брунеллески
Неоплатонизм
Тициан Маньеризм
Эль Греко
Итальянские скульпторы
Северное Возрождение
Барокко в Италии и Испании
Караваджо
Архитектура и скульптура
в Италии
Живопись в Испании
Барокко во Фландрии и
Голландии
Рембрандт. Ночной дозор
Пейзаж и натюрморт
в живописи
эпоха Версаля
Никола Пуссен
Королевская Академия
Графика
Метрические задачи
Основы начертательной
геометрии
Фронтальная проекция
Компьютерные технологии
Панель свойств объектов
Настройка рабочей среды
Системы координат
Декартовы и полярные координаты
Свойства примитивов
Управление видимостью слоя
Полилиния Эскизы стили
Разработка чертежей
Электротехника
Курсовая работа
Математика примеры задачи
Дифференциальное и
интегральное
исчисление функции одной
переменной
Понятие производной
Геометрический смысл производной
Правила дифференцирования
Понятие дифференциала
Теорема Ролля

Правило Лопиталя

Выпуклость функции

Асимптоты графика функции

Неопределенный интеграл
Таблица интегралов
Введение в анализ. Предел
Понятие множества
Операции над множествами
Функции и отображения
Числовые множества
Предел последовательности
Фундаментальные последовательности
Монотонные
последовательности
Предел функции

Критерий Коши

Точки разрыва
Исследовать на
непрерывность
Декартова, полярная и сферическая системы координат
Монотонность функций
Преобразование графиков функций
Тригонометрические функции
Графические методы решения задач
Теорема синусов
Геометрические фигуры
Построения на изображениях
Поверхности второго порядка
Матрицы. Операции над матрицами
Метод Гаусса

Предел последовательности

Элементы теории множеств Понятие множества Множество – совокупность некоторых объектов. Примерами множеств являются множества чисел, множества точек прямой, множество линий и др. Каждое отдельное множество задается правилом или законом, позволяющим судить, принадлежит объект данному множеству или нет Операции над множествами

Свойства операций над множествами. Из определений объединения и пересечения множеств следует, что операции пересечения и объединения обладают следующими свойствами Функции и отображения. Определение. Функцией f , действующей из множества X в множество Y (f: X ® Y) называется правило или закон, по которому каждому элементу x О X ставится в соответствие один или несколько y О Y. Если каждому x ставится в соответствие один y , то функция называется однозначной. Виды отображений. Отображение называется инъекцией, если для любых элементов x1, x2 О X, для которых f(x1) = f(x2) следует, что x1 = x2. Геометрические приложения определенного интеграла

Мощность множеств. Как мы можем сравнить два конечных множества? Мы можем, например, сосчитать количество элементов в каждом из них и таким образом сравнить. Но можно поступить иначе, попытаться установить биекцию между элементами. Ясно, что биекцию между двумя конечными множествами можно установить только при условии что количество элементов в них одинаково. Именно второй способ годится для сравнения бесконечных множеств. Среди бесконечных множеств простейшим является множество натуральных чисел.

Частные производные функции нескольких переменных Найти частные производные функций: .

Пространство действительных чисел.

Аксиоматика действительных чисел. Определение(пространство действительных чисел). Множество R называется пространством действительных чисел, а его элементы – действительными числами, если выполнены следующие аксиомы

Числовые множества. Ограниченное множество.

Принцип верхней грани. Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой. Между точками числовой прямой и множеством действительных чисел существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждой точке числовой прямой соответствует действительное число и наоборот. Множество всех действительных чисел будем называть числовой прямой и обозначать символом (-Ґ,Ґ) или R.

Предел последовательности. Основные определения и примеры.

Определение (определение последовательности). Функция f:N® X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью. Неограниченная последовательность может быть односторонне ограниченной, то есть ограниченной или сверху, или снизу. Пример неограниченной сверху последовательности: xn = n. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства

Свойства предела последовательности.

Арифметические операции над последовательностями.

Фундаментальные последовательности. Определение . Последовательность xn называется фундаментальной или последовательностью Коши, если " e > 0 $ N: " n>N, " m>N, |xn-xm|< e Справедливо также и эквивалентное данному определение фундаментальной последовательности.

Монотонные последовательности

Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности. Определение (определение подпоследовательности). Как мы уже знаем (см. определение последовательности) последовательность это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Если вместо множества всех натуральных чисел взять некоторое его бесконечное подмножество nk, k = 1,2,..., nk<nk+1, то получим подпоследовательность xnk.

Приложение последовательностей в экономике. На финансовом рынке кредитор получает доход от предоставления денег в долг в виде, например, помещения денег на сберегательный счет, покупки акций, выдачи ссуды и т.д. Получаемый доход называется процентами и определяется кредитной ставкой. Пример Пусть ссуда в 2000 рублей предоставляется на пять лет при простой ставке 3% годовых Пример. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода? Пример. Пусть стоимость аннуитета 73000 рублей, ежегодные выплаты равны 15000 рублей, процентная ставка 4% годовых. Сколько лет должны производиться выплаты, чтобы их стоимость превысила стоимость аннуитета?

Предел функции. Определения и примеры.

Пусть EМ R и a – предельная точка множества E. Определение 1. Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E. Приведем еще одно эквивалентное определение предела на "языке последовательностей".

Рассмотрим понятие предела функции в бесконечности Свойства предела функции

Пример. Найти limx® 0(sin 6x)/4x; limx® 0(1-cos x)/x2.Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Определение (бесконечно малая функция). Функция называется бесконечно малой в точке a или при x® a, если limx ® af(x) = 0

Критерий Коши о существовании предела функции. Определение (условие Коши). Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа e найдется положительное d(e), что для любых x1,x2, удовлетворяющих условию 0<|x1-a|<d, 0<|x2-a|<d,справедливо неравенство |f(x1-f(x2)|<e.

Сравнение функций. Определение Если для функций f(x), g(x) существуют постоянные c>0, d>0, такие, что |f(x)|Ј c |g(x)| при |x-a|<d, x a, то говорят, что f является ограниченной по сравнению с функцией g в окрестности точки a и пишут, что f(x) = O(g(x)) при x® a. Следующая теорема удобна для применения на практике при вычислении пределов

Метод выделения главной части бесконечно малых применяется к вычислению пределов

Непрерывные функции Непрерывность функции в точке

Точки разрыва

Свойства функций, непрерывных в точке

Пример. Исследовать на непрерывность в точке x = 0 и установить характер разрыва функции в этой точке: f(x) = 1/(1+21/x) >

На главную