Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Введение в анализ. Предел

Свойства функций, непрерывных в точке

Пример. Исследовать на непрерывность в точке x = 0 и установить характер разрыва функции в этой точке:

  1. f(x) = 1/(1+21/x)

    Решение.

    limx® -01/(1+21/x) = 1
    limx® +01/(1+21/x) = 0,
    так как
    limx® +021/x = Ґ, limx® -021/x = 0.
    Следовательно, f(x) в точке x = 0 имеет разрыв первого рода. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом z = 2 − x2 − y2 и конической поверхностью . Тройные и двойные интегралы при решении задач

  2. f(x) =
    м (1/5)(2x2+3), при -Ґ<xЈ 1,
    н 6-5x, при 1<x<3,
    о x-3, при 3Ј x<Ґ

    Решение. Заметим, что на интервалах (-Ґ,1), (1,3), (3,Ґ) функция непрерывна. Поэтому разрывы возможны лишь в точках x = 1, x = 3, в которых изменяется аналитическое задание функции.

    limx® 1-01/5(2x2+3) = 1;
    limx® 1+0(6-5x) = 1;
    f(1) = 1.
    Таким образом в точке x = 1 функция непрерывна. Так как
    limx® 3-0(6-5x) = -9;
    limx® 3+0(x-3) = 0,
    то точка x = 3 - точка разрыва первого рода. Если  m, М - наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x,y) в области D, то справедливо двойное неравенство (оценка двойного интеграла):

Упражнение 2. Исследовать на непрерывность
  1. f(x) =
    м e1/x, при x 0,
    н
    о 0, при x = 0;
  2. f(x) = E(x)- целая часть числа;
  3. f(x) = arctg 1/(x-5) в точке a=5;
  4. f(x) =
    м x+2, при x<2,
    н
    о x2-1, при xі 2.

 

Данный курс является вводным к одной из наиболее актуальных дисциплин – системному анализу и моделированию систем. На понятийно-содержательном уровне, понятном, но достаточно строгом и формальном уровне изложения рассматриваются понятия и факты, необходимые при системном, синергетическом и междисциплинарном рассмотрении различных проблем.
Правила дифференцирования