Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной японская косметика оптом Введение в анализ. Предел

Точки разрыва

Пример 22. Исследовать на непрерывность
f(x) =
м x+1, если xі 0
н
о x-1, если x<0.
(рис. 17)

По графику видно, что функция не является непрерывной в точке x = 0. Существуют односторонние пределы функции справа и слева в точке x = 0, которые не равны limx® -0f(x) = -1 и limx® +0f(x) = 1. То есть определение непрерывной функции в точке не выполнено и точка x = 0 - точка разрыва функции.

Определение 24. Точка a называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция не является непрерывной в данной точке. Вычислить интеграл . Тройные и двойные интегралы при решении задач

Записав отрицание определения непрерывной функции, получим определение точки разрыва:

Определение 25 (точки разрыва). a - точка разрыва f, если

$ e>0 " d(e)>0 $ xО E : |x-a|<d Ю |f(x)-f(a)|>e.

Различают точки разрыва первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при x® a, не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует). Так в примере на рис. 15 x = 0 является точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относятся точки устранимого разрыва, когда предел функции при x® a существует, но в точке a функция либо неопределена, либо f(a) lim x® af(x). Вычислить интеграл Курсовая на вычисление интеграла

Замечание. В точке устранимого разрыва функцию f(x) можно доопределить так, чтобы она стала непрерывной, положив
f(a) = limx® af(x).

Пример 23.

f(x) =
м sin x/x, если x 0
н
о 0, если x = 0.
Так как limx® asin x/x = 1, то x = 0 является точкой устранимого разрыва.

Пример 24. Функция Дирихле разрывна во всех точках и все точки разрыва второго рода, так как на любом интервале есть рациональные и иррациональные числа.

 

Данный курс является вводным к одной из наиболее актуальных дисциплин – системному анализу и моделированию систем. На понятийно-содержательном уровне, понятном, но достаточно строгом и формальном уровне изложения рассматриваются понятия и факты, необходимые при системном, синергетическом и междисциплинарном рассмотрении различных проблем.
Правила дифференцирования