Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Введение в анализ. Предел

Критерий Коши о существовании предела функции.

Определение (условие Коши). Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа e найдется положительное d(e), что для любых x1,x2, удовлетворяющих условию

0<|x1-a|<d, 0<|x2-a|<d,
справедливо неравенство
|f(x1-f(x2)|<e.

Теорема 5 (Критерий Коши). . Для того, чтобы существовал предел функции f(x) в точке a ( limx ® af(x) = A ) необходимо и достаточно, чтобы f(x) удовлетворяла в точке a условию Коши.

Аналогично формулируется условие Коши и доказывается критерий Коши и для случаев правого(левого) пределов в точке a, предела при x® Ґ(±Ґ). Полное приращение и полный дифференциал ФНП

Предел монотонной функции.

Определение 11 (монотонная функция). Пусть f:E ® R

  1. Если для любых x1, x2 О E при x1<x2 выполняется f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)), то функция f(x) возрастающая (убывающая).
  2. Если для любых x1, x2 О E при x1<x2 выполняется f(x1)Ј f(x2) (f(x1)і f(x2)), то функция f(x) неубывающая (невозрастающая). Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен Математика вычисление интеграла

Определение 12 (ограниченная функция). Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если

$ M(m)О R " xО X Ю f(x)Ј M (f(x)і m).

Определение 13 . Функция f(x) называется ограниченной на множестве X, если она ограничена на нем сверху и снизу, т.е.

$ M, mО R " xО X Ю mЈ f(x)Ј M .

Определение 14(точные верхняя и нижняя грани). Число M (m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f(x) на множестве X, если выполнены следующие условия

  1. " xО X Ю f(x)Ј M (f(x)і m);
  2. " e >0 $ x0О X: f(x0)>M-e (f(x)<m+e) (см. рис. 16).


Предположим, что числа (или символы ±Ґ) i=inf E, s=sup E являются предельными точками множества E (см. определение prepo 1). Имеет место

Теорема 6 (существование предела у монотонной функции). Для того чтобы неубывающая на множестве E функция f:E® R имела предел при x® s, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел при x® i необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.

 

Данный курс является вводным к одной из наиболее актуальных дисциплин – системному анализу и моделированию систем. На понятийно-содержательном уровне, понятном, но достаточно строгом и формальном уровне изложения рассматриваются понятия и факты, необходимые при системном, синергетическом и междисциплинарном рассмотрении различных проблем.
Правила дифференцирования