Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Введение в анализ. Предел


Предел функции. Определения и примеры.

Пусть EМ R и a – предельная точка множества E.

Определение 1. Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E.

Пусть f:E ® R. Приведем несколько формулировок определения предела функции. Для разных оценок бывает удобна то одна, то другая. Уравнение плоскости Пусть в декартовой системе координат имеется некоторая плоскость, проходящая через точку , ее радиус-вектор будет иметь координаты . Зададим на этой же плоскости точку с радиус-вектором . Очевидно, что вектор также будет находиться в заданной плоскости

Определение 2 (предел функции по Коши). Число AО R называется пределом функции f(x) в точке a или при x® a и это обозначается следующим образом limx ® af(x) = A, если

" e > 0 $ d(e)>0: " x: 0<|x-a|< d, Ю |f(x)-A|< e

Пример 1. Доказать, что limx® 1(2x+3) = 5.

Запишем определение предела для данного примера

" e >0 $ d (e)>0 " x удовлетворяющих условию : 0<|x-1|<d
должно быть выполнено неравенство
|2x+3-5|<e или 2|x-1|<e.
Отсюда следует, что неравенство 2|x-1|<2d<e выполнится, если dЈe/2. Если e = 0,1, то d = 0,05 , при e = 0,01, d = 0,005 и т.д. Таким образом, решение задачи состоит в нахождении d, зависящего от e.

Определение 3. Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Обозначается проколотая окрестность символом .

Определение 4 (предел функции на "языке окрестностей"). Число A О R называется пределом функции f(x) в точке a или при x® a,
если для любой окрестности U(A) числа A существует проколотая окрестность точки a такая, что f() М U(A).

 

Курс предназначен для студентов, интересующихся не только тем, как получить конкретное решение конкретной проблемы (что достаточно важно), но и тем, как ставить, описывать, исследовать и использовать такие задачи, находить и изучать общее, инвариантное в развивающихся системах различной природы, особенно, информационных
Правила дифференцирования