Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Введение в анализ. Предел


Монотонные последовательности.

Определение.

  1. Последовательность xn возрастает (убывает), если " nО N xn<xn+1(xn>xn+1)
  2. xn не убывает (не возрастает), если " nО N xn Ј xn+1 (xn і xn+1)

Теорема 12 (теорема Вейерштрасса). Неубывающая последовательность сходится Ы когда она ограничена сверху.

Доказательство. Необходимость. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Достаточность. Пусть xn — ограниченная сверху последовательность.
Существует S = sup xn, то есть " e > 0 $ xN: xN > S - e. Так как последовательность неубывающая, то

" n > N Ю xn і xN Ю S - e < xN Ј xn Ј S < S + e. Следовательно, |xn - S| < e.

Пользуясь теоремой Вейерштрасса, можно доказать, что

lim n® Ґ(1+1/n)n = e. Доказательство данного факта можно посмотреть в книге В.А.Зорича " Математический анализ" часть I. Функции комплексной переменной. Комплексные числа. Математика лекции и задачи

Пример 26. Рассмотрим последовательность xn = . Возрастание xn с ростом n следует непосредственно из формулы для xn. Докажем, что xn<2 " n. Доказательство можно провести по индукции. Заметим, что

x1<2, предположим, что xn<2 и покажем, что xn+1<2. Из формулы для xn следует, что xn+1 = , учитывая, что xn<2, получим, что xn+1<2. Тогда по теореме Вейерштрасса существует предел данной последовательности. Обозначим его через A. Для определения A перейдем к пределу в рекуррентном соотношении xn = +1. Тогда A = , отсюда A = 2. То есть lim n® Ґxn = 2.

 

Курс предназначен для студентов, интересующихся не только тем, как получить конкретное решение конкретной проблемы (что достаточно важно), но и тем, как ставить, описывать, исследовать и использовать такие задачи, находить и изучать общее, инвариантное в развивающихся системах различной природы, особенно, информационных
Правила дифференцирования