Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Введение в анализ. Предел


Фундаментальные последовательности.

Определение . Последовательность xn называется фундаментальной или последовательностью Коши, если " e > 0 $ N: " n>N, " m>N, |xn-xm|< e Справедливо также и эквивалентное данному определение фундаментальной последовательности.

Определение 32(последовательность Коши). Последователь
ность

xn называется фундаментальной или последовательностью Коши, если " e > 0 $ N: " n>N, " p-натурального, |xn+p-xn| < e

Теорема 11 (Критерий Коши). Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной. Ряд Фурье для четных и нечетных функций Лемма. Интеграл от функции f(x) на симметричном интервале .[-a, a] равен 0 для нечетной функции и для четной функции равен удвоенному значению интеграла по половине промежутка.

Пример 24. Используя критерий Коши можно доказать, что последовательность (-1)n не имеет предела . Очевидно, что |xn-xn+1| = 2, поэтому если выбрать e = 1, то получим отрицание утверждения, что последовательность фундаментальна. А именно:

$ e>0, $ n>N, $ m>N, |xn-xm|іe.

Пример 25. Рассмотрим последовательность

xn = 1+1/2+1/3+....+1/n Для исследования на сходимость воспользуемся определением фундаментальности Так как |xn+p - xn| = 1/(n+1)+ ... + 1/(n+p) >p/(n+p) , то при p=n |xn+p - xn|>n/2n = 1/2 = e. Очевидно, что определение фундаментальной последовательности не выполняется. В силу критерия Коши эта последовательность не имеет предела.

 

Курс предназначен для студентов, интересующихся не только тем, как получить конкретное решение конкретной проблемы (что достаточно важно), но и тем, как ставить, описывать, исследовать и использовать такие задачи, находить и изучать общее, инвариантное в развивающихся системах различной природы, особенно, информационных
Правила дифференцирования