Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Введение в анализ. Предел


Числовые множества. Ограниченное множество. Принцип верхней грани.

Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой. Между точками числовой прямой и множеством действительных чисел существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждой точке числовой прямой соответствует действительное число и наоборот. Множество всех действительных чисел будем называть числовой прямой и обозначать символом (-Ґ,Ґ) или R. Приведем примеры часто используемых числовых множеств. [a,b]={x О R, a Ј x Ј b} —отрезок
(a,b) = {x О R, a <x <b } — интервал
(a,b]= {x О R, a <x Ј b } — полуинтервал
[a,b) = {x О R, a Ј x < b } — полуинтервал

Определение 14. Окрестностью точки x называется любой интервал, содержащий эту точку.

Окрестность точки x будем обозначать следующим образом U(x).

Определение 15. Ue(x0) эпсилон окрестностью точки x0 называется интервал длины 2e с центром в точке x0

|x-x0| < e

(рис.11)


Определение 16. Расстоянием в R между x и y называется r (x,y) = |x-y|. Элементы теории вероятностей События, происходящие в окружающем нас мире, можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным относительно комплекса условий S называется событие, которое обязательно произойдет при осуществлении этого комплекса условий. Например, если гладкий желоб с лежащим внутри него тяжелым шариком наклонить, то шарик обязательно покатится по желобу в сторону уклона. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении комлекса условий S. Например, из герметически изолированного сосуда вода не может вылиться. Случайным относительно комплекса условий S называется событие, которое при осуществлении указанного комплекса условий может либо произойти, либо не произойти. Например, если вы уронили фарфоровую чашку на пол, то она может как разбиться, так и остаться неповрежденной.

Определение 17 (ограниченное множество). Множество X называется ограниченным сверху (снизу), если для всех элементов из X, существует такое число a, что x Ј a (x і a).
Множество X называется ограниченным, если найдутся a и b: " x О X, a Ј x Ј b, x О [a,b].

Эквивалентное определение ограниченного множества можно сформулировать следующим образом.

Определение 18. Множество X ограничено, если существует такое число c>0, что для всех xО X выполнено неравенство |x| Ј c.

 

«Дифференциальное и интегральное исчисление» охватывает ту часть программы по математическому анализу для специальности «математика», которая изучается на первом курсе.
Правила дифференцирования