Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Введение в анализ. Предел

Таблица интегралов

Ранее была указана таблица производных от основных элементарных функций Приведем таблицу основных интегралов. Справедливость ниже указанных формул легко проверить дифференцированием.

Метод подстановки

Замена переменной интегрирования является одним из эффективных методов сведения интеграла к табличному. Этот прием интегрирования называется методом подстановки.

Теорема 15 (метод подстановки). Пусть функция x = f (t) определена и дифференцируема на некотором множестве T, а X - множество значений этой функции, на котором определена f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на X, то на T справедлива следующая формула
f(x)dx = f(f (t))f' (t)dt. (13)
Вычисление длины дуги кривой Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X, то есть F' (x) = f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

(F(f (t)))' = F'x(f(t))f '(t) = f(f(t))f '(t).
Таким образом,
f(f (t))f'(t)dt=F(f(t))+C.
Так как f(x)dx = F(x)+C, то получим формулу Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры (вывод формулы в полярной системе), длины дуги (вывод формулы в ДСК), объема тела вращения относительно Ox (вывод формулы)

 

Прямоугольная (ортогональная) проекция точки - основание перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость проекций. Oртогональные проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, одна из которых параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, взаимно перпендикулярны
Правила дифференцирования