Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Введение в анализ. Предел

Интегральное исчисление функции одной переменной

Неопределенный интеграл

Определение (первообразная). Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве XН R, если в каждой точке этого множества F'(x) = f(x).

Например, функция F(x) = x2/2 является первообразной для функции f(x) = x, так как (x2/2)' = x. Очевидно, что если F(x) - первообразная функция для функции f(x) на множестве X, то функция F(x)+C, где C - некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x), xО X, так как (F(x)+C)' = F'(x) = f(x). Геометрически это означает, что если найдена одна кривая y = F(x), являющаяся первообразной, то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы снова получим кривые, удовлетворяющие условию (F(x)+C)' = f(x).

Справедлива

Теорема 14. Если F1(x), F2(x) - первообразные для функции f(x) на некотором множестве X, то найдется такое число C, что справедливо равенство F2(x) = F1(x)+C.

Доказательство. Так как (F2(x)-F1(x))' = F'2(x)-F'1(x) = f(x)-f(x) = 0, xО X, то F2(x)-F1(x) = C, то есть F2(x) = F1(x)+C. Вычислить криволинейный интеграл Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Определение 17 (неопределенный интеграл). Совокупность
всех первообразных функций для функции f(x), определенных на множестве X, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на множестве X и обозначается

f(x)dx.

Если F(x) - некоторая первообразная для f(x), то пишут

f(x)dx = F(x)+C.

Замена переменной в определенном интеграле. При вычислении определенных интегралов в некоторых случаях используется прием замены переменной или подстановки.

Основные свойства неопределенного интеграла Примеры решения типовых задач: прямая на плоскости Задача Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (1,2) и (-2,3).

  1. dF(x) = F(x)+C. Справедливость этого равенства следует из очевидной цепочки равенств
    dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx = F(x)+C.
  2. d f(x)dx = f(x)dx. Данная формула следует из равенства
    d f(x)dx = d(F(x)+C) = dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.
  3. Если функции f1(x), f2(x) имеют первообразные, то функция f1(x)+f2(x) тоже имеет первообразную, причем
    (f1(x)+f2 (x))dx = f1(x)dx+ f2(x)dx.
  4. Если функция f(x) имеет первообразную и k– постоянная, то и функция kf(x) также имеет первообразную, причем при k 0 справедливо равенство
    kf(x)dx = k f(x)dx.
Заметим, что свойства 3 и 4 следуют из свойств производной.

 

Прямоугольная (ортогональная) проекция точки - основание перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость проекций. Oртогональные проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, одна из которых параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, взаимно перпендикулярны
Правила дифференцирования