Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Введение в анализ. Предел

Правило Лопиталя

Будем говорить, что отношение функций f(x)/g(x) представляет собой неопределенность вида 0/0 при x® a, если
limx® af(x) = limx® ag(x) = 0.
Раскрыть неопределенность - это значит вычислить предел
limx® af(x)/g(x), если он существует. Аналогично можно ввести понятие неопределенности при x® a-0 (x® a+0), x® ±Ґ.

Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности вида 0/0.

Теорема 7 (правило Лопиталя). Пусть множество (a) - проколотая d - окрестность точки a, функции f(x),g(x) определены и дифференцируемы на , g'(x) 0,

limx® af(x) = limx® ag(x) = 0.
Тогда если существует limx® af'(x)/g'(x), то существует и предел limx® af(x)/g(x), причем справедливо соотношение
limx® af(x)/g(x) = limx® af'(x)/g'(x).

Данная теорема без изменений переносится на случай неопределенности вида Ґ/Ґ. Пример. В разложении найти члены, содержащие xg. т=9, g=6.

Замечание. Сформулированная теорема представляет собой лишь достаточное условие. То есть предел отношения функций может существовать и в случае, когда предел отношения производных не существует.

Например, пусть f(x) = x+sin x, g(x) = x-sin x, x® Ґ. Попробуем применить правило Лопиталя

limx® Ґ(x+sin x)/(x-sin x) = Ґ/Ґ = =limx® Ґ(x+sin x)'/(x-sin x)' = limx® Ґ (1+cos x)/(1-cos x),
но предел последнего выражения не существует, однако, если поделить числитель и знаменатель на x, то легко получим конечное значения предела:

limx® Ґ(x+sin x)/(x-sin x) = limx® Ґ (1+sin x/x)/(1-sin x/x) = 1

 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических, физических и других задач. В систематической форме интегральное исчисление было предложено в 17 в. И. Ньютоном
Правила дифференцирования