Поверхности второго порядка

Теорема синусов

Прямоугольный треугольник

Аксиомы 1.4 и 2.1 позволяли приписывать отрезкам и углам числа, равные их мерам, то есть измерять отрезки и углы. До сих пор не было связи между величинами углов и длинами отрезков. С введением треугольников появляется возможность связать величины градусных мер углов треугольника и длин его сторон. Рассмотрим соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника .

Рисунок 5.1.1.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Пусть угол ( BAC ) – искомый острый угол. Так, например, для угла BAC (рис.  5.1.1)

Теорема 5.1. 

Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Доказательство

Пусть ABC и A 1 B 1 C 1 – два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах A и A 1, равным α . Построим треугольник AB 2 C 2, равный треугольнику A 1 B 1 C 1, как показано на рис. 5.1.2. Это возможно по аксиоме 4.1. Так как углы A и A 1 равны, то B 2 лежит на прямой AB . Прямые BC и B 2 C 2 перпендикулярны прямой AC , и по следствию 3.1 они параллельны. По теореме 4.13

Но по построению AC  =  A 1 C 1 AB 2  =  A 1 B 1, следовательно,

Что и требовалось доказать.

Теорема 5.2. 

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На рисунке 5.1.3 изображен прямоугольный треугольник. BC и AC – его катеты, AB – гипотенуза. По теореме BC AC 2 = AB 2.

Доказательство

Пусть ABC – данный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C .

Рисунок 5.1.3.

Проведем высоту CD из вершины C . По определению из треугольника ACD и

любая наклонная больше перпендикуляра,

равные наклонные имеют равные проекции,

из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. По определению

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему

Из данных определений получаем следующие соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника: если α – острый угол прямоугольного треугольника , то

катет, противолежащий углу α , равен произведению гипотенузы на sin α;

катет, прилежащий к углу α , равен произведению гипотенузы на cos α;

катет, противолежащий углу α , равен произведению второго катета на tg α. В ходе исследования различных функций вы неоднократно решали такую задачу: вычислить значение функции f по данному значению х0 аргумента. Часто приходится рассматривать и обратную задачу: найти значения аргумента, при которых функция f принимает данное значение у 0.
Графические методы решения задач