Градиентный метод Дифференциальное и интегральное исчисление Введение в анализ. Предел Декартова, полярная и сферическая системы координат

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Законы распределения случайных величин

Между отдельными значениями варьирующих признаков и частотой их встречаемости в генеральной совокупности существует определенная связь (это наглядно можно увидеть на графике зависимости частот от значения вариат).

Реализация того или иного эначения варьирующего признака представляет собой случайное событие. Предсказать появление случайного события в отдельных испытаниях (наблюдениях) можно лишь с некоторой уверенностью, или вероятностью, которое имеет данное событие. Случайной называется переменная величина, способная в одних и тех же условиях испытания принимать различные числовые значения. Функция , связывающая значения вариант с вероятностями называется законом распределения случайной величины.

 В природе широко распространена закономерность: в массе относительно однородных членов, составляющих статистическую совокупность, большинство их оказывается среднего или близкого к нему размера, и чем дальше они отстоят от среднего уровня варьирующего признака , тем реже встречаются в данной совокупности. Такое поведение может описано законом нормального распределения (формула Гаусса-Лапласа)

  , где - дисперсия генеральной совокупности, - генеральная средняя арифметическая или математическое ожидание.

 Величина  получила название нормированного отклонения.

Выборочные характеристики рассматриваются как приближенные значения или точечные оценки соответствующих генеральных параметров, которые, как правило, остаются неизвестными. Средняя арифметическая выборки служит оценкой средней арифметической генеральной совокупности , выборочная дисперсия  является оценкой генеральной дисперсии ,  - в качестве точечной оценки стандартного отклонения генеральной совокупности.

 Формально математическое ожидание соответствует средней арифметической эмпирических распределений. Однако отождествлять эти величины нельзя. Средняя арифметическая выражается отношением суммы всех членов ряда к их общему числу, а математическое ожидание представляет сумму произведений членов ряда на их вероятности. Эмпирическая средняя стремится к своей вероятной величине, то есть, к математическому ожиданию по мере увеличения числа испытаний: чем больше число испытаний, тем ближе эмпирическая средняя к математическому ожиданию.

Теорема Бюдана–Фурье

Так как построение системы Штурма, вообще говоря, требует громоздких вычислений, то на практике ограничиваются более простыми частными приемами подсчета числа действительных корней алгебраический уравнений.

Определение. Пусть дана конечная упорядоченная система действительных чисел

, , …, , (1.10)


где   и .

С одной стороны, назовем нижним числом перемен знаков системы (1.10) число перемен знаков в преобразованной системе (1.10), где нулевые элементы


(, ) заменены элементами  такими, что

.

Очевидно, что если система (1.10) не имеет нулевых элементов, то число N перемен знаков в этой системе по смыслу совпадает с ее нижним и верхним  числами перемен знаков:

,

вообще же говоря, .

Теорема 1.6. (теорема Бюдана–­Фурье). Если числа a и b (a<b) не являются корнями полинома P(x) степени n, то число N(a, b) действительных корней уравнения P(x)=0, содержащихся между а и b, равно минимальному числу  перемен, знаков потерянных в системе последовательных производных

, , , …, , …,  (1.11)


при переходе от x=a к x=b, или меньше числа  на четное число, т.е.

,

где

и   – нижнее число перемен знаков в системе (1.13) при x=a,  – верхнее число перемен знаков в этой системе при x=b .

Предполагается, что каждый корень уравнения (1.3) считается столько раз, какова его кратность. Если производные   не обращаются в нуль при x=a и x=b, то подсчет знаков упрощается, а именно:

.

Следствие 1. Если , то между a и b нет действительных корней уравнения (1.3)

Следствие 2. Если , то между a и b имеется ровно один действительный корень уравнения (1.3).

Замечание. Для подсчета числа потерянных знаков  в системе (1.11), пользуются схемой Горнера, составляют два разложения:

  (1.12)

и

. (1.13)

Пусть  – нижнее число перемен знаков коэффициентов разложения (1.12) и соответственно  – верхнее число перемен знаков коэффициентов разложения (1.13). Так как

,  ,

то знаки чисел  и совпадают со знаками системы (1.13) при x=a и x=b. Поэтому

.

Средняя арифметическая и ее свойства - средняя арифметическая является центром распределения, вокруг которого группируются все варианты статистической совокупности..

Свойства дисперсии Если каждую варианту совокупности уменьшить или увеличить на одно и тоже постоянное число А, то дисперсия не изменится.

Статистические гипотезы Величина отклонения выборочного показателя от его генерального параметра называется статистической ошибкой этого показателя или ошибкой репрезентативности.

Теперь рассмотрим гипотезу о равенстве дисперсий исходных генеральных совокупностей. В рассмотрении участвуют две выборки и их параметры: объем выборки и дисперсия (и для первой выборки и и для второй).

Связь математической статистики с теорией вероятности. В чем заключается закон устойчивости частот?


На главную