Градиентный метод Дифференциальное и интегральное исчисление Введение в анализ. Предел Декартова, полярная и сферическая системы координат

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Компакт-метод.

Как уже отмечалось, метод квадратного корня применим только для систем с симметричной матрицей A. Однако существует так называемый компактный метод, который по сути очень похож на метод квадратного корня, но применим уже к любым невырожденным квадратным системам. При этом суть метода остается той же - разложение матрицы A на произведение верхне-и нижнетреугольной матриц, правда уже не взаимнотранспонированных.

Упражнение 8.1. Вывести самостоятельно матричное описание компакт-метода.

Упражнение 8.2. Вывести самостоятельно формулы для разложения матрицы А системы на произведение верне- и нижнетреугольной матриц.

Контрольные вопросы.

Что такое транспонированная матрица, симметрическая матрица?

Что такое главные миноры? Бывают ли главные миноры у неквадратной матрицы?

Какая матрица называется положительно определенной?

Каковы условия применимости метода квадратного корня?

Что может получиться, если применять метод к симметрическим, невырожденным, но не положительно определенным матрицам?

Что может получиться, если применять метод к несимметрическим матрицам?

Опишите в матричном виде процесс решения системы данным методом.

Почему при поиске элементов матрицы S мы выписываем 10, а не все 16 уравнений?

Содержание лабораторной работы.

Ответить на вопросы контролирующей программы.

Составить, отладить и протестировать на контрольных примерах программу решения систем линейных уравнений методом квадратного корня.

Попробовать применить программу к системам, где метод квадратного корня не применим. Дополнить программу проверкой применимости метода.

(дополнительно). Составить программу для решения систем компакт-методом.

Составить отчет, содержащий цель и назначение работы, постановку задачи, текст программ и варианты исполнения для своих данных.

Постановка задачи

Пусть даны множество X элементов x и множество Y с элементами y. Допустим, кроме того, что на множестве X определен оператор , который ставит в соответствие каждому элементу x из Х некоторый элемент y из Y. Возьмем какой-нибудь элемент   и поставим себе целью найти такие элементы , для которых  является изображением.

Такая задача равносильна решению уравнения

 (1.1)

Для него могут быть поставлены следующие проблемы.

Условия существования решения уравнения.

Условие единственности решения уравнения.

Алгоритм решения, следуя которому, можно было бы найти, в зависимости от поставленной цели и условий, точно или приближенно все решения уравнения (1.1), или какое-либо одно решение, заранее указанное, или любое из числа существующих.

Далее будем рассматривать уравнения, в которых x и y будут численными величинами, X, Y – множествами их значений, а оператором  будет некоторая функция. В этом случае уравнение (1.1) можно будет записать в виде

  (1.2)

В теории численных методов стремятся построить вычислительный процесс, при помощи которого можно найти решение уравнения (1.2) с наперед заданной точностью. Особенно большое значение имеют сходящиеся процессы, позволяющие решить уравнение с любой, сколь угодно малой погрешностью.

Наша задача – нахождение, вообще говоря, приближенное, элемента . Для этой цели разрабатывается алгоритм, который выдает последовательность приближенных решений  , причем так, что имеет место соотношение

Такое описание действий, конечно, является несколько идеализированным. Обычно получают какой-либо алгоритм построения последовательности , но фактически реализуется лишь несколько его шагов, т.е. получают только несколько первых членов этой последовательности.

Нахождение матрицы S («квадратного корня» из А).

Общие формулы для нахождения элементов матрицы S имеют вид:, где i=1,2...n.

Метод простых итераций Данный метод относится к приближенным методам решения систем линейных уравнений.

Описание метода простых итераций. Вернемся теперь к решению системы линейных уравнений, преобразованной к виду (9.1). Решить систему - значит найти неподвижную точку Х такую, что если подставить ее координаты в правые части уравнений (9.1), то получим ту же точку Х.


На главную