Градиентный метод Дифференциальное и интегральное исчисление Введение в анализ. Предел Декартова, полярная и сферическая системы координат

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Регуляризация решения

При решении систем методом Гаусса желательно предусмотреть на каждом шаге перестановку уравнений. Необходимость в этом возникает в том случае, когда разрешающий элемент шага равен нулю и мы не можем из данного уравнения выразить эту переменную, чтобы подставить ее в последующие уравнения системы. Тогда в качестве разрешающего элемента берется максимальный по модулю элемент данного столбца, расположенный в нашей матрице ниже, а затем два уравнения меняют местами.

Задача 7.4. Докажите, что в невырожденных системах не может встретиться случай, когда и разрешающий элемент, и все элементы столбца ниже него на каком-то шаге окажутся равными нулю одновременно.

Более того, плох также случай, когда разрешающий элемент близок к нулю, поскольку при вычислениях нам приходится делить на него. В связи с конечной разрядностью вычислений, особенно при машинной реализации, чем меньше по модулю разрешающий элемент, тем больше на этом шаге погрешности округления при вычислениях. Пример полезности данного правила легко видеть при решении без перестановки уравнений и с таковой указанной ниже системы. При этом, для уменьшения громоздкости примера мы считаем, что все вычисления производятся с точностью до 5 значащих цифр.

___________________________________________

  | 1.2357 | 2.1742 | -5.4834 | -2.0735

 0 | 6.0696 | -6.2163 | -4.6921 |  -4.8388

 | 3.4873 | 6.1365 | -4.7483 | 4.8755

___|_________|_________|_________|__________

  1 | 4.919 | -16.895 | 22.242 | 5.3462

 | 2.8221 | 0.0007 | 10.727 | 10.727

___ |__ ______|_________|_________|__________

 2 | | 0.41E-04 | 10.728 | 10.727

___ |_________|_________|_________|__________

 | x3 = 0.99991

 | x2  = 0.99994

 | x1 = 0.99968

___ |_______________________________________

Правильный ответ: х1=1, х2=1, х3=1

Теперь поменяем местами 2-е и 3-е уравнения:

__________________________________________

  | 1.2357 | 2.1742 | -5.4834 | -2.0735

 0 | 3.4873 | 6.1365 | -4.7483 |  4.8755

 | 6.0696 | -6.2163 | -4.6921 | -4.8388

___|_________|__________|_________|__________

  1 | 2.8221 | 0.0007 | 10.727 | 10.727

 | 4.919 | -16.895 | 22.242 | 5.3462

___|_________|_________|_________|__________

  2 | | 24136 | 258930 | 258910

___|_________|_________|_________|___________

  | x3 = 0.99992

 | x2 = 1.4286

 | x1 = 2.9021

___|________________________________________

Во втором случае полученные ответы значительно хуже, т.к. разрешающий элемент 0.0007 - очень маленькое число. Тем самым, для более качественного решения систем методом Гаусса надо предусмотреть на каждом шаге перестановку уравнений.

Анализ полученных результатов

Из полученных при решении уравнений (2.1) и (2.4) уравнений можно судить о следующих особенностях метода Лобачевского–Греффе.

С помощью рассматриваемого метода можно найти все корни многочлена с достаточно высокой точностью, при не большом количестве итераций.

Величина погрешности полученных корней в высокой степени зависит от отделенности корней в исходном многочлене, так, например, в уравнении (2.1) минимальная разность между различными по модулю корнями равна  и  в уравнении (2.4), что в результате дает погрешности разных порядков (4.52958089E–11 и 4.22229789E-06 соответственно) при одинаковом количестве итераций.

Таким образом, метод Лобачевского–Греффе дает хорошую точность при отделенных корнях, и значительно теряет при кратных или близких по модулю корнях.

ВЫВОД

Метод Лобачевского–Греффе, который был рассмотрен в данном курсовом проекте, имеет простую схему вычислений и позволяет с помощью небольших по объему вычислений найти с большой точностью модулю всех корней алгебраического уравнения, исключая разве только кратные или очень близкие по модулю корни. Однако окончательное нахождение корней требует значительной вычислительной работы, особенно в случае комплексных корней.

Затруднительным для метода является нахождение кратных корней. Однако метод можно применять и в этом случае, если предварительно избавиться от кратных корней с помощью алгоритма, описанного в данной работе.

Наибольшую проблему представляют корни близкие по модулю, т. к. в этом случае происходит большая потеря точности вычислений, что влечет за собой необходимость в увеличении затрат ресурсов. В данном случае рекомендуется пользоваться другими методами нахождения корней алгебраического уравнения.

Метод Лобачевского–Греффе один из самых эффективных методов вычислений, который при небольшом количестве итераций дает результат с довольно хорошей точностью, поэтому сфера использования этого метода на практике очень широкая. Методом можно пользоваться при построении математических моделей химических и физических процессов, в методах оптимизации.


На главную