Градиентный метод Дифференциальное и интегральное исчисление Введение в анализ. Предел Декартова, полярная и сферическая системы координат

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Теорема 1. Если ранг матрицы А совпадает с рангом расширенной матрицы (А|B), то в этом случае существует решение системы (7.1) и наоборот.

Теорема 2. В случае, когда количество уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель A отличен от 0, существует единственное решение системы(7.1).

m=n и det(А)<>0 => решение (7.1) существует и единственно.

Если n>m, то решений (7.1) обычно бесконечное множество (линейное пространство размерности n-rang(A)). Если m>n, то обычно решений нет.

Упражнение 7.1. Приведите пример несовместной системы, у которой m<n.

Упражнение 7.2. Приведите пример совместной системы, у которой m>n.

Далее мы ограничимся рассмотрением частного случая: m=n и det(А)<>0, т.е. случай, когда решение существует и единственно, хотя метод Гаусса, например, носит универсальный характер.

Методы решения систем линейных уравнений можно разбить на две группы: точные методы и приближенные. К точным (прямым) относятся методы, позволяющие за конечное число шагов получить точное решение системы, (т.е. те методы, погрешность которых равна 0). К итерационным относятся методы, при которых строится рекуррентная последовательность векторов, сходящихся к решению. Обычно они применяются, когда применение точных методов затруднено или невозможно, например когда порядок системы – тысячи переменных.

К прямым методам относятся, кроме метода Гаусса, метод квадратного корня для симметричных матриц (или компакт-метод для произвольных), метод Крамера. Последний метод обычно изучается в теории систем линейных уравнений в виду возможности кратко записать решение системы. Пусть D-определитель квадратной матрицы А системы линейных уравнений: D=det(A)¹0. Пусть D(i)-определитель матрицы, у которой на i-ом месте находится столбец В, а остальные столбцы совпадают с соответствующими столбцами матрицы А. Тогда координаты вектора решения находятся по формулам: Х(i)=D(i)/D.

Упражнение 7.3. Определите по формулам Крамера решение системы и проверьте его:

Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных)

Матрица называется верхнетреугольной, если ниже главной диагонали все элементы равны нулю, т.е. aij=0 при i>j. Аналогично, матрица называется нижнетреугольной, если все элементы выше главной диагонали (i<j) равны 0. Матрица называется диагональной, если только на главной диагонали (i=j) стоят ненулевые элементы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов: прямого хода и обратного хода.

Методом Лобачевского–Греффе решить уравнение:

.  (2.4)

Для начала с помощью теоремы Штурма определим количество действительных и комплексных корней в уравнении (2.2).

Для данного уравнения система Штурма имеет вид

Откуда получаем

Таблица 2.3.

Многочлен

Точки на действительной оси

+

+

+

+

+

+

Число перемен знаков

3

1

Таким образом, получаем, что число действительных корней в уравнении (2.2) равно

,

т.е. уравнение (2.2) содержит 2 действительных и два комплексных корня.

Для приближенного нахождения корней уравнения воспользуемся методом Лобачевского–Греффе для пары комплексно–сопряженных корней.

Произведем квадрирование корней уравнения. Вычисления коэффициентов произведем по формулам (2.2) и (2.3) .

Результаты вычислений с восьмью значащими цифрами приведены в таблице 2.4

Таблица 2.4.

i

0

1

2

3

4

0

-9.2000000E+00

-3.3300000E+01

1.3800000E+02

0

1

1.6900000E+00

-1.2140000E+01

1.3825000E+02

2.2500000E+02

0

2.4280000E+01

-1.7285000E+01

5.4630000E+03

0

1

2.7136100E+01

1.3009460E+02

2.4576062E+04

5.0625000E+04

0

-2.6018920E+02

-1.2325470E+06

-1.3172078E+07

0

1

4.7617872E+02

-1.2156224E+06

5.9081077E+08

2.5628906E+09

0

2.4312447E+06

-5.5753725E+11

6.2310144E+15

0

1

2.6579909E+06

9.2020050E+11

3.5528838E+17

6.5684084E+18

0

-1.8404010E+12

-1.8886934E+24

-1.2088505E+31

0

1

5.2245148E+12

-1.0419245E+24

1.2621774E+35

4.3143988E+37

0

2.0838490E+24

-1.3188529E+48

8.9905555E+61

0

1

2.9379403E+25

-2.3324632E+47

1.5930919E+70

1.8614037E+75

0

4.6649263E+47

-9.3608180E+95

8.6833113+122

0

1

8.6361583E+50

-8.8167795E+95

2.5379418+140

3.4648238+150

Как видно из таблицы 2.4 на 7-м шаге корни ,  (считая в порядке убывания модулей) можно считать отделенными. Модули корней находим по формуле (1.27) и грубой прикидкой определяем их знак:

Так как преобразованный коэффициент при  меняет знак, то данное уравнение имеет комплексные корни, которые определяются из уравнения (1.31) с использованием формул (1.29) и (1.30):

i.

Относительная погрешность корней, вычисленная по формуле (1.28) равна

,

.

Разберем пример нахождения наилучшей линейной функции.Пусть зависимость задана таблицей.

Сведение поиска функций другого вида к поиску линейной функции. При поиске функций другого вида задача сводится к рассмотренной выше задаче нахождения наилучшей линейной функции.

Постановка задачи: По заданной таблице зависимости некоторой величины Y от аргумента X определить коэффициенты линейной функции (или функции другого вида), которая наилучшим образом отражает эту зависимость.

Прямой ход.Это основной этап решения системы уравнений с помощью метода Гаусса


На главную